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E A I I Cour + Exercices + Corrigés -->LE REGIME SINUSOÏDAL
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Cour + Exercices + Corrigés -->LE REGIME SINUSOÏDAL

 
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mouhcine
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MessagePosté le: Mer 28 Oct - 23:07 (2009)    Sujet du message: Cour + Exercices + Corrigés -->LE REGIME SINUSOÏDAL Répondre en citant


   ______________________________________________________
 Leçon III : LE REGIME SINUSOÏDAL
____________________________________


 ______________________________________________________

1. CARACTERISTIQUES DE SIGNAUX PERIODIQUES

_____________

http://lsiwww.epfl.ch/LSI2001/teaching/physiciens/lecon03/lec3.html#1.1
Soit un signal périodique.


On définit les grandeurs suivantes: l'amplitude, la fréquence, la valeur crête-à-crête, la valeur moyenne, la valeur efficace.
1.1. Amplitude du signal
Elle peut être définie crête à crête ou bien en valeur absolue
1.2. Fréquence du signal

La fréquence est l'inverse de la période :


1.3. Valeur crête-à-crête (peak-to-peak : ptp)
Selon dessin
1.4. Valeur moyenne (average, mean)
La valeur moyenne est donnée par :


Cette valeur moyenne est aussi appelée "niveau continu" ou "niveau DC" en électronique ; l'autre composante du signal est qualifiée d'alternative.
1.5. Valeur efficace (root mean square : RMS )
La valeur efficace est donnée par :


Cette valeur efficace correspond au niveau d'un signal continu qui produirait la même dissipation par effet Joule. Par exemple, si on devait calculer la dissipation thermique d'un élément sous l'effet d'un signal, la valeur efficace de ce dernier serait la valeur la plus utile.
(Cf. Ex. 5.1 : CARACTÉRISTIQUES DU SIGNAL PÉRIODIQUE TRIANGULAIRE )



______________________________________________________

2. PUISSANCE D'UN DIPOLE

_____________

2.1. Puissance instantanée
2.2. Exemple et convention de signe
2.3. Puissance moyenne

2.1. Puissance instantanée
Nous avons vu précédemment l'analogie électromécanique, faisant correspondre tension à force et courant à vitesse. L'analogie peut donc se poursuivre dans l'expression de la puissance instantanée :


Remarquons que cette puissance électrique est la puissance mécanique à développer pour déplacer une charge dans un champ électrostatique, à une vitesse donnée.
2.2. Exemple et convention de signe
Une source débite dans un récepteur ohmique ; la puissance fournie par la source est négative. Pour le récepteur ohmique dont on a vu que sa caractéristique est de consommer de la puissance, le signe correspondant de la puissance est positif.


On a pour la source :


et pour la charge :


2.3. Puissance moyenne
Un élément résistif dissipe toujours de la puissance : c'est sa caractéristique. Alors on a toujours une expression positive de la puissance. Mais pour des éléments non-consommateurs comme l'inductance par exemple, la puissance est parfois positive (l'inductance se charge en courant, donc soutire de l'énergie au circuit), parfois négative (l'inductance restitue de l'énergie au circuit électrique).
Ce qui exprime la consommation ou non de puissance n'est donc pas sa valeur instantanée, mais sa valeur moyenne.
L'expression de la puissance moyenne est donnée en toute généralité par :


(Cf. Ex. 5.2 : INDUCTANCE EN RÉGIME SINUSOÏDAL )





  ______________________________________________________

3. REGIME SINUSOIDAL

_____________


3.1. Grandeurs typiques en régime sinusoïdal
3.2. Puissances actives et réactives
3.3. Notation de Fresnel
3.4. Exemple : circuit RC en régime sinusoïdal
3.5. La notion d'impédance
3.6. Gain, atténuation et décibels

Une des caractéristiques des systèmes linéaires est de conserver la forme des signaux sinusoïdaux. Pour un tel système, on peut donc parler de régime sinusoïdal.
3.1. Grandeurs typiques en régime sinusoïdal
Pour un signal sinusoïdal exprimé, par :


on a :
amplitude
fréquence
crête à crête
valeur moyenne
valeur efficace


( Cf. Ex. 5.3 : VALEUR EFFICACE D'UNE TENSION Sinusoïdale )
( Cf. Ex. 5.4 : FACTEUR DE FORME )



3.2. Puissances actives et réactives
Dans le cas où un récepteur consomme une puissance (moyenne), on parle de puissance active, c'est le cas de la résistance. L'énergie entre dans le système sous forme électrique, et en sort sous forme de pertes ohmiques. Notons que si le schéma électrique représente aussi en partie un système mécanique, la perte ohmique peut signifier des frottements visqueux, comme indiqué précédemment.
Dans le cas où l'on a une puissance moyenne nulle mais une puissance instantanée non nulle, on dit que la puissance est réactive, c'est le cas des inductances et capacités, des bobines et condensateurs de bonne qualité. L'énergie circule dans le circuit et se fait momentanément stocker (sous forme magnétique respectivement électrique pour l'inductance et la capacité). Le récepteur ne consomme pas à proprement parler de l'énergie, mais cette fluctuation de courant crée des pertes dans les lignes de transmission.
 ( Cf. Ex. 5.5 : PUISSANCE RÉACTIVE)
3.3. Notation de Fresnel
En régime sinusoïdal, les courants et tensions sont des sinusoïdes déphasées l'une par rapport à l'autre, et ayant chacune leur amplitude.
On représente les courants et tensions d'un dipôle par des vecteurs dits de Fresnel, où l'information de fréquence est laissée de côté.


Vecteurs de Fresnel :


On ne garde dans cette représentation que la valeur efficace, image de l'amplitude et de déphasage entre courant et tension.
Ainsi, la puissance active devient le produit scalaire des deux vecteurs :
     

Le déphasage entre courant et tension d'un quart de tour correspond en régime sinusoïdal, à la relation de dérivation ou d'intégration existant entre ces grandeurs pour la capacité et l'inductance. Remarquons encore que dans cette notation, l'application des lois de Kirchhoff revient à fermer les polygones des tensions et courants.

3.4. Exemple : circuit RC en régime sinusoïdal
Circuit RC en régime sinusoïdal :


On constate que courant et tension sont parallèles dans la résistance, et perpendiculaires dans la capacité. La notion d'impédance, qui est abordée plus loin, permet de faire des calculs qui peuvent être complémentaires d'une méthode graphique de ce type. La représentation de Fresnel permet de "visualiser" une partie du comportement d'un système linéaire en régime sinusoïdal (dit aussi régime harmonique)
3.5. La notion d'impédance
3.5.1. Justification théorique

La représentation vectorielle des relations courant-tension en régime sinusoïdal est une manière de ne garder du signal qu'un déphasage et une amplitude. Ce résultat peut aussi être obtenu grâce à l'utilisation de nombres complexes:
Le signal :


devient, en notation complexe :


La notation complexe permet d'exprimer la relation courant-tension en régime sinusoïdal, grâce à la notion d'impédance :


Cette relation prend la même forme linéaire que la loi d'ohm. L'utilisation de ces nombres complexes en régime sinusoïdal permet de traiter dans le même langage les effets résistifs, capacitifs et inductifs. (Voir l'exercice 5.6).

3.5.2. Impédance des trois éléments passifs de base

Caractéristique Relation i-u:Impédance
Résistance
Inductance
Capacité

( Cf. Ex. 5.6 : IMPÉDANCES DES ÉLÉMENTS DE BASE )
3.5.3. Impédance d'une bobine

On peut modéliser le comportement linéaire d'une bobine auto inductive de la sorte :


La résistance représente les pertes par effet Joule, l'inductance la composante auto inductive, la capacité les effets d'accumulation de charges.
( Cf. Ex. 5.7 : Modèle D'UNE BOBINE )


    3.5.4. Impédance d'un condensateur


On modélise souvent un condensateur en tenant compte de ses pertes ohmiques :


Ces pertes sont représentées, en mode fréquentiel, par un angle de pertes d'autant plus petit qu'elles sont faibles :



( Cf. Ex. 5.8 : Modèle D'UN CONDENSATEUR )


3.6. Gain, atténuation et décibels
Il arrive fréquemment, notamment lors d'analyses harmoniques (voir la leçon consacrée à l'analyse fréquentielle), que l'on veuille exprimer le gain d'un système en décibels. Que cela signifie-t-il ?
3.6.1. Gain

Le gain en général est défini comme le rapport de la grandeur de sortie sur celle d'entrée:

3.6.2. Gain en puissance

Le gain en puissance d'un système peut être exprimé en logarithme et l'unité est alors le Bel ou le décibel :


Comme en électronique on travaille souvent directement en tension ou courant, il faut encore voir qu'une puissance électrique est donnée par le carré de ces grandeurs. Il en résulte :

3.6.3. Exemple d'un filtre passe-bande

Un filtre électronique présente la propriété d'avoir un gain en tension variable en fréquence :


La région en fréquence délimitée par une chute de gain inférieure à 3 dB est appelée bande passante.
( Cf. Ex. 5.9 : BANDE PASSANTE )
( Cf. Ex. 5.10 : CALCULS D'IMPÉDANCES )




  ______________________________________________________

4. ASSOCIATIONS D'IMPEDANCES

_____________


4.1. Cas général d'association de dipôles
4.2. Association de dipôles non linéaires (caractéristique statique)
4.3. Association de dipôles linéaires

4.1. Cas général d'association de dipôles
Des deux relations de Kirchhoff, on déduit immédiatement les règles d'association des dipôles :
4.1.1. Association en parallèle

 



4.1.2. Association en série

 

              



4.2. Association de dipôles non linéaires (caractéristique statique)
Soit une diode mise en parallèle à une résistance. Le dipôle résultant est également non-linéaire, et on peut aisément reconstituer sa caractéristique statique en sommant les courants.


4.3. Association de dipôles linéaires
4.3.1. Impédances pour les dipôles linéaires

Dans le cas plus standard des dipôles linéaires, on a pour leurs impédances :

4.3.2. Cas des trois dipôles passifs de base :



( Cf. Ex. 5.11 : REPRÉSENTATION D'IMPÉDANCE )
( Cf. Ex. 5.12 : GÉNÉRATEUR À IMPÉDANCE DE SORTIE CAPACITIVE )
( Cf. Ex. 5.13 : LIGNE DE TRANSMISSION )



  ______________________________________________________

5. EXERCICES

_____________

5.1. Caractéristiques du signal périodique triangulaire
5.2. Inductance en régime sinusoïdal
5.3. Valeur efficace d'une tension sinusoïdale
5.4. Facteur de forme
5.5. Puissance réactive
5.6. Impédances des éléments de base
5.7. Modèle d'une bobine
5.8. Modèle d'un condensateur
5.9. Bande passante
5.10. Calculs d'impédances
5.11. Représentation d'impédance
5.12. Générateur à impédance de sortie capacitive
5.13. Ligne de transmission

 5.1. Caractéristiques du signal périodique triangulaire

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
Calculez et discutez en fonction de l'amplitude et de la fréquence les caractéristiques de ce signal périodique :


5.2. Inductance en régime sinusoïdal

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
Exprimez le courant, la tension et la puissance dans une inductance soumise au régime sinusoïdal.
Laquelle des puissances instantanée ou moyenne fluctue ? A quoi cela correspond-il ?


5.3. Valeur efficace d'une tension sinusoïdale

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
Vérifiez l'expression de la valeur efficace d'une tension sinusoïdale, en partant de la définition mathématique appliquée au cas sinusoïdal.
5.4. Facteur de forme

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
Donnez l'expression de la valeur moyenne d'un signal sinusoïdal redressé.
En supposant qu'un voltmètre redresse un signal et mesure sa valeur moyenne, quel est le facteur à introduire pour que son affichage indique une valeur efficace ?
Que se passe-t-il si le signal introduit n'est pas sinusoïdal ?
5.5. Puissance réactive

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Une charge électrique compliquée est modélisée par une inductance, ce qui implique que la puissance de cette dernière sera strictement réactive. La ligne de transfert entre la source et la charge est modélisée en première approche par une résistance, image de pertes thermiques.
- Dessinez le schéma-bloc correspondant : source-ligne-récepteur.
- Dessinez le circuit électrique lié au modèle énoncé.
- Exprimez les puissances en jeu. Sont-elles actives, réactives ?
- Quelles conclusions peut-on en tirer ?
5.6. Impédances des éléments de base

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
Reconstituez le tableau des impédances résistives, capacitives et inductives :
 Caractéristique Relation i-u:Impédance
Résistance
Inductance
Capacité

5.7. Modèle d'une bobine

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
On modélise parfois une bobine réelle par une inductance pour son effet auto inductif, une résistance pour la dissipation par effet Joules dans le bobinage et une capacité pour l'accumulation de charges par influence entre fils :
            
Quelques données: Fréquence : 100 KHz
Tension de crête : 15 V
Coefficient L=1.5 mH
Capacité C=300 pF

Quel est le courant demandé à la source par cette charge ?
Quelle est l'importance (% impédance) de l'effet capacitif à cette fréquence ?
5.8. Modèle d'un condensateur

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
Un condensateur de C=100 nF est spécifié par le fabricant comme ayant un angle de pertes : delta = 1.5 o à une fréquence de 100 KHz.


Dessinez à l'échelle le diagramme de Fresnel.
A quelle résistance en parallèle à la capacité cette spécification correspond-elle ?

5.9. Bande passante

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
Un filtre électronique présente la propriété d'avoir un gain en tension variable en fréquence :


La région en fréquence délimitée par une chute de gain inférieure à 3 dB est appelée bande passante.
Que représente -3 dB en terme de puissance transmise ?
5.10. Calculs d'impédances

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
Donnez l'impédance du dipôle à droite, pour les fréquences suivantes : 100 KHz, 10 KHz et 1 KHz


On spécifie :
    Coefficient L=1.5 mH
    Capacité C=300 pF
    Résistance R=15 ohm

5.11. Représentation d'impédance 

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
Représentez l'amplitude et la phase de l'impédance suivante, en fonction de la fréquence, exprimée en échelle logarithmique :


On a les valeurs suivantes : C=100 nF ; R = 10KW
5.12. Générateur à impédance de sortie capacitive

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
Soit un générateur de tension, à impédance de sortie capacitive. Il est chargé avec une charge ohmique, selon le schéma suivant:

On a :



Quelle est l'influence de la capacité parasite sur la tension de sortie, à une fréquence de 100 KHz pour une tension d'entrée sinusoïdale ?
5.13. Ligne de transmission

ÉNONCÉ---Corrigé---Retour au paragraphe correspondant du cours
On peut modéliser une ligne de transmission (câble) par :


Discutez les cas limites : hautes fréquences, basses fréquences.
Explicitez l'impédance en fonction de la fréquence, vue par la source de tension.
Quand peut-on négliger dans le modèle la capacité et l'inductance ?



 
______________________________________________________

6. CORRIGE DES EXERCICES

_____________



6.1. Caractéristiques du signal périodique triangulaire
6.2. Inductance en régime sinusoïdal
6.3. Valeur efficace d'une tension sinusoïdale
6.4. Facteur de forme
6.5. Puissance réactive
6.6. Impédances des éléments de base
6.7. Modèle d'une bobine
6.8. Modèle d'un condensateur
6.9. Bande passante
6.10. Calculs d'impédances
6.11. Représentation d'impédance
6.12. Générateur à impédance de sortie capacitive
6.13. Ligne de transmission


Exercice 5.1 : signal triangulaire

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

     



- Fréquence:

- Amplitude est donnée
par la valeur de crête du signal.  

- Valeur crête-à-crête:  

- Valeur moyenne:


- Valeur efficace:
.



Toutes les tensions prennent des valeurs indépendantes de la fréquence du signal.
Exercice 5.2 : Inductance en régime sinusoïdal

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Courant :

Tension :

Puissance :

La puissance instantanée fluctue. La puissance moyenne est nulle qui indique que les pertes joules sont nulles. La puissance consommée par la self est purement réactive.
Exercice 5.3 :Valeur efficace d'une tension sinusoïdale

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Soit :





Exercice 5.4 : facteur de forme

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

- Signal sinusoïdal redressé :



- Valeur moyenne




C =

Le calcul du facteur de forme est dépendant de la forme du signal.(voir TP2 pour plus de détails)

Exercice 5.5 : puissance réactive

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours



Le calcul du courant ne pose aucun problème. Par les impédances on trouve :


Puissance dissipée par le générateur : Rg I2 (acitve)
Puissance dissipée par la ligne : Rl I2 (acitve)
Puissance de l'inductance :



Puissance instantanée :
(réactive)

Puissance moyenne : Plmoy = 0
La self ne consomme pas d'énergie mais le courant réactif est responsable de pertes en ligne. On a donc intérêt à minimiser le courant réactif.
C'est un problème d'électronique de puissance : il faut essayer d'annuler la composante réactive le la charge et ceci peut se faire au moyen de condensateurs.
Exercice 5.6 : Impédances des éléments de base

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Caractéristique courant-tension de la capacité :


Soit une tension

donc un courant

On passe en complexe :

On exprime le rapport pour trouver l'impédance et on constate que les ejw t disparaissent :


On introduit les nombres complexes :



Et on obtient :


Exercice 5.7: Modèle d'une bobine

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Quelques données:

Fréquence : 100 KHz
Tension de crête : 15 V
Coefficient L=1.5 mH
Capacité C=300 pF
Résistance R=15 ohm
Le module de son
impédance est donné par:

Impédance:

Tension efficace:

Courant efficace avec capacité:
    9.3 mA 
Courant efficace sans capacité:
    11.3 mA

On assiste à une variation d'impédance de 18 %, en terme de module. L'effet de la capacité est visualisable en représentant les vecteurs de Fresnel du système: comme l'inductance déphase le courant par rapport à la tension, la capacité induit un déphasage opposé ayant pour résultat de compenser un peu de déphasage inductif.

Exercice 5.8: modèle d'un condensateur

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

Un condensateur de C=100 nF est spécifié par le fabricant comme ayant un angle de pertes :
à une fréquence de 100 KHz.



On a, pour l'expression de l'angle de pertes:


Comme R et C sont en parallèle :


Exercice 5.9 : Bande Passante

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours



Le gain en dB est défini en puissance (Cf. cours)
GdB = 10 log Po/Pi
Comme la tension va comme le carré de la puissance :


Si Gu = -3dB alors Po/Pi = ½
La bande passante d'un système est donc définie par les point où la moitié de la puissance est transmise.

Exercice 5.10 : Calculs d'impédances

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

On calcule l'impédance équivalente :


Tous calculs faits on trouve pour le module :


f [kHz]
[[font=Symbol]W[/font] ]
0
15
1
17.5
10
95.5
100
1145
1000
562
10000
53

       :  Capacité = circuit ouvert
Inductance = court-circuit
      :  Capacité = court-circuit
Inductance = circuit ouvert
Exercice 5.11 : Représentation d'impédance

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours
On calcule l'impédance équivalente :


Module de
 :



Argument de
 :


Exercice 5.12: générateur à impédance de sortie capacitive

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

La tension de sortie est donnée par le diviseur de tensions :


Ce qui nous donne en module :


Pour f = 100kHz

Pour f = 0Hz

Conclusion : La capacité a un effet négligeable à cette fréquence.
On peut chercher le point pour lequel ZC = 10R
(à 1.6MHz l'impédance de la capacité vaut 10 fois celle de la résistance et on peut commencer à en tenir compte).

Exercice 5.13 : ligne de transmission

CORRIGÉ---Énoncé---Retour au paragraphe correspondant du cours

- A basse fréquence, la self se comporte comme un court-circuit, et la capacité comme un circuit ouvert. Dans ce cas on peut les négliger et l'ensemble se comporte comme un simple diviseur de tension à résistances.
- A haute fréquence, le signal ne passe plus car la capacité est un court-circuit et la self un circuit ouvert.
La source voit le dipôle suivant :



Impédance équivalente :

C'est à basse fréquence que l'on peut négliger les effets de la
capacité et de l'inductance.

 _________________________________________________________________
Evil or Very Mad  FIN DE LA LECON Evil or Very Mad


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MessagePosté le: Mer 28 Oct - 23:07 (2009)    Sujet du message: Publicité

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ahmed.chtioui


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MessagePosté le: Sam 19 Déc - 01:15 (2009)    Sujet du message: Cour + Exercices + Corrigés -->LE REGIME SINUSOÏDAL Répondre en citant

thank you
_________________ La théorie, c’est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c’est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons réuni théorie et pratique : rien ne fonctionne ... et personne ne sait pourquoi !
...


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MessagePosté le: Aujourd’hui à 03:16 (2017)    Sujet du message: Cour + Exercices + Corrigés -->LE REGIME SINUSOÏDAL

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